تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر (ANOVA with repeated measure)
وقتی که اندازهگیریهای یکسانی برای چند بار از یک آزمودنی یا یک مورد انجام میگیرد، برای تحلیل دادهها و مقایسه میانگین دادهها بین این چندبار بایستی از آزمون تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر استفاده کرد. با این حال اگر عامل بین گروهی نیز وجود داشته باشد میتواند با تعریف گروه (به عنوان مثال، زن و مرد) در این آزمون مورد تحلیل قرار گیرد. با استفاده از این روش آماری شما میتوانید فرضیه صفر را در مورد آثار عوامل بین گروهی و درون گروهی آزمون کنید. همچنین میتوان اثر تعاملی بین عوامل (چه درون گروهی و چه بین گروهی) یا به زبان سادهتر اثر تعاملی دو یا چند متغیر مستقل را نیز سنجید. علاوه بر این، امکان انجام تحلیلهای کوواریانس در مورد عوامل درون گروهی و بین گروهی و تعامل آن با این عوامل نیز وجود دارد. یعنی میتوان اثر متغیر ثابتی را به عنوان کوواریانس (یا متغیر همراه) بررسی کرده و اثر مداخلهگرانه آن را بر روی متغیر وابسته به روش آماری کنترل کرد.
روش آزمون آماری تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر بر اساس مدل خطی است که در آن فرض شده است عوامل و متغیرهای همراه همبستگی خطی با متغیر وابسته دارند. در تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر امکان تحلیلهای یک متغیری[1] و چندمتغیری[2] (همانند ANOVA) وجود دارد. هم مدلهای متعادل و هم مدلهای نامتعادل را میتوان آزمون کرد. طرحی متعادل است که هر سلول (خانه) در مدل حاوی تعداد یکسانی از آزمودنیها باشد. به بیان سادهتر اگر تعداد آزمودنیهای شما در گروهها یکسان نباشد و یا اینکه همه آزمودنیهای یک گروه نتوانند در همه اندازهگیریها (بارهای بعدی) شرکت کنند، این آزمون را میتوان اجرا کرد. در یک مدل چند متغیری، مجموع مجذورات به دلیل اثرات در مدل و خطای مجموع مجذورات، بیشتر به شکل ماتریکس هستند و مانند مدل یک متغیری، به شکل اسکالر نیستند. به این ماتریکسها SSCP (مجموع مجذورات و حاصلضرب ضربدری) گفته میشود. علاوه بر آزمون فرضیه، تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر میتواند تخمینی از پارامترها نیز ممکن سازد.
معمولاً از مقایسات[3] قیاسی[4] برای انجام آزمون فرضیهها در عوامل بین گروهی استفاده میشود. بعلاوه، پس از اینکه مقدار F معنیدار شد، میتوان از آزمونهای تعقیبی برای ارزیابی تفاوتها بین میانگینهای مختلف استفاده کرد. میانگینهای تخمینی بحرانی[5] برآوردی از مقادیر میانگین هر خانه را در مدل بدست میدهد و نمودارهای نیمرخ (نمودارهای تعاملی) این میانگینها امکان این را میدهد تا برخی از رابطهها را به راحتی مشاهده کرد.
باقیماندهها، مقادیر پیش بینی شده ، فاصله کوکس[6] ومقادیر نفوذ[7] را میتوان به عنوان یک متغیر جدید در فایل دادهها ذخیره کرد و از آن برای بررسی پیشفرضها استفاده کرد. موارد دیگری که میتوان استفاده کرد، ماتریکس SSCP و ماتریکس کوواریانس باقیمانده است که ماتریکس SSCP یک ماتریکس مربع از مجذورات و حاصلضربهای ضربدری باقیماندههاست و ماتریکس کوواریانس باقیمانده، ماتریکس باقیماندهی ماتریکس SSCP تقسیم بر درجه آزادی باقیمانده هاست و ... .
ملاحظات مربوط به آزمون تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر
دادهها: متغیرهای وابسته بایستی کمی باشند. عوامل (متغیرهای) بین آزمودنی، نمونهها را به دو گروه مجزا تقسیم میکند (مانند زن و مرد). این عوامل طبقهای هستند و میتوانند میتوانند به صورت عدد (مثلاً گروه 1، 2) یا رشته (مثلاً گروه زن، مرد) بیان شوند. متغیرهای همراه نیز کمی هستند که با متغیر وابسته ارتباط دارند. در انجام آزمون تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر، متغیرهای همراه بایستی در هر سطح از متغیر درون گروهی یکسان باشد.
فایل دادهها بایستی حاوی دستهای از متغیرها (ستون) برای هر گروه از اندازهگیریها در آزمودنیها باشد. برای مثال، اگر بخواهیم وزن گروهی از ورزشکاران را 3 بار در روز و برای 4 روز اندازه گیری کنیم بایستی برای هر آزمودنی (ردیف) 12 ستون داده (4 دسته 3 تائی) داشته باشیم.
پیش فرضها: همچنان که پیشتر اشاره شد، تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر از دو روش قابل انجام است: یک متغیری و چند متغیری. در روش یک متغیری، یک متغیر مستقل (و صرفاً درون گروهی است) با سطوح مختلف (چندین بار اندازهگیری) وجود دارد که در این چندین بار اندازهگیری، اثر آن بر متغیر وابسته اندازهگیری شده است. مثلاً، یک گروه ورزشکار (10 نفر) داریم و در یک برنامه تمرینی به مدت 8 هفته شرکت میکنند. مقدار VO2max افراد در قبل از شروع تمرینات (سطح 1)، پس از 4 هفته (سطح 2) و پس از 8 هفته (سطح 3) اندازهگیری میشود.
اندازهگیریها برای هر آزمودنی بایستی نمونهای از توزیع طبیعی چندمتغیری باشد. توضیح در مورد مبانی آماری توزیع طبیعی در اندازهگیریهای مکرر خارج از حوصله این متن است. برای درک سادهتر، توزیع دادهها در سطوح مختلف بایستی طبیعی باشد که در این مورد گفته میشود به اصطلاح کروی باید باشد. برای آزمون این فرضیه، از آزمون کرویّت ماخلی[8] استفاده میشود. نگران این آزمون نباشید زیرا با اجرای آزمون تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر، این آزمون نیز بطور خودکار اجرا شده و نتایج آن در جدولی ارائه میشود. برای نمونههای کوچکتر، این آزمون خیلی قوی نیست. اما در نمونههای بزرگ، اگر مقدار آن معنیدار هم شود، تاثیر آن بر نتایج آزمون بسیار کم است و خدشهای وارد نمیکند. اگر سطح معنیداری آن بیشتر از 05/0 شد، یعنی فرض کرویت برآورده شده است و اگر مقدار آن کمتر از 05/0 باشد بایستی نکات کوچکی را رعایت کرد. در این حالت، نتایج مربوط به آزمون F بایستی بر اساس تعدیل درجه آزادی استفاده شود. برای تعدیل درجه آزادی، سه تخمین وجود دارد که به آنها اپسیلون گفته میشود و در جدول F ارائه میشوند. باز هم نیازی به نگرانی نیست، در هر صورت، SPSS مقادیر F را در هر دو شرایط و تصحیح شده بر اساس این اپسیلونها ارائه میدهد. معمولاً از اپسیلون هینه-فلت[9] استفاده میشود.
اما در روش چندمتغیری، برای آزمون این پیش فرض (توزیع طبیعی دادهها) از آزمون M باکس (Box’s M) استفاده میشود.
لازم است تا موارد فوق بصورت گام به گام در مثالی فرضی توضیح داده شود.
پژوهشگری در دانشگاه گیلان میخواهد بررسی کند که اکسیداسیون چربی در شدتهای مختلف فعالیت در زنان و مردان چه تفاوتی با یکدیگر دارند. بدین منظور، 10 نفر زن و 10 نفر مرد را به عنوان آزمودنی انتخاب کرد. آزمودنیها با 4 شدت 30، 40، 50 و 60 درصد VO2max بر روی نوار گردان دویدند و با استفاده از دستگاه گاز آنالایزر اندازهگیریها انجام شد.
مناسبترین فرضیه برای این پژوهش اینست:
-
اکسیداسیون چربی در شدتهای مختلف فعالیت بین زن ومرد تفاوت معنیداری ندارد.
اما در حقیقت، محقق به دنبال اینست تا تاثیر جنسیت را بر اکسیداسیون چربی بداند و همچنین دریابد که اکسیداسیون چربی در شدتهای مذکور چه تغییراتی کرده و چه تفاوتی با هم دارند. در نهایت، احتمال دارد که تغییرات اکسیداسیون چربی در شدتهای مختلف فعالیت در مردان و زنان مشابه نباشد. لذا، این فرضیه در خود، سه زیر فرض را مستتر دارد که میتوان بدین شکل عنوان کرد:
1- (اثر خالص شدت فعالیت) شدت فعالیت بر اکسیداسیون چربی تاثیر معنیداری ندارد. (یا، اکسیداسیون چربی در شدتهای مختلف فعالیت تفاوت معنیداری ندارد)
2- (اثر خالص جنسیت) جنسیت تاثیر معنیداری بر اکسیداسیون چربی ندارد. (یا، اکسیداسیون چربی در زنان و مردان تفاوت معنیداری ندارد)
3- (اثر تعاملی [4 شدت×2 جنسیت]) تاثیر شدت فعالیت بر اکسیداسیون چربی در مردان و زنان از لحاظ آماری یکسان است. (یا، اثر جنسیت بر اکسیداسیون چربی در شدتهای مختلف فعالیت تفاوت معنیداری ندارد)
برای وارد کردن دادهها بایستی بدین صورت عمل کرد: برای هر آزمودنی یک ردیف در نظر گرفته میشود (جمعاً 20 ردیف). در ستون اول شماره آزمودنی وارد میشود و در ستون دوم نیز بایستی برای هر گروه یک کد گذاشته شود (یعنی 10 نفر اول که مرد هستند با کد 1 [مردها مقدمترند!] و 10 نفر بعدی نیز با کد 2). مقادیر اکسیداسیون چربی برای هر شدت باید در یک ستون وارد شوند (یعنی 4 ستون برای 4 شدت).
برای اجرای آزمون از منوی Analysis←General Linear Model←... Repeated Measures شروع کنید.
کادر گفتگوی 1
در کادر گفتگوی 1 در قسمت Within-Subject Factor Name عامل متغیر مستقل (Intensity) را تایپ کرده و در قسمت Number of Levels نیز تعداد سطح آن عامل را وارد کنید که در این مثال، 4 را وارد کنید (یعنی 4 شدت). سپس بر روی کلید Add کلیک کرده و در نهایت Define را کلیک کنید. در کادر مذکور شما به spss گفتهاید که چند متغیر مستقل و با چند سطح دارید. در صورتی که 2 متغیر مستقل (البته درون گروهی) داشته باشید به همین ترتیب دومین متغیر را نیز برای نرمافزار تعریف میکنید. در ادامه، کادر گفتگوی 2 باز میشود.
کادر گفتگوی 2
در کادر گفتگوی 2، متغیر مستقل درونگروهی را به کادر بالا (در این مثال، شدت فعالیت، به ترتیب متغیرهای st1، st2، st3 و st4 را که مقادیر اکسیداسیون چربی به ترتیب در 4 شدت 30، 40، 50 و 60 درصد VO2max)، و متغیر مستقل بینگروهی (در این مثال جنسیت [Group]) را به کادر پائین (یعنی، Between-Subject Factor(s)) منتقل کنید. در همین کادر، بر روی Options.. کلیک کنید تا کادر گفتگوی 3 باز شود.
کادر گفتگوی 3
خب! به همین منوال ادامه دهید.
میبینید که متغیرهای مستقل شما در کادر سمت چپ ظاهر شده است و کلی گزینه برای انتخاب! به ترتیب پیش میرویم. متغیرهای مستقل را به کادر سمت راست منتقل کنید. همچنین، عبارت group*intensity (البته در این مثال) را نیز به کادر سمت راست منتقل کنید. در واقع، شما با این دستور از spss خواستهاید تا اثر اصلی هر متغیر مستقل (جنسیت و شدت فعالیت) را بر متغیر وابسته (اکسیداسیون چربی) محاسبه کند. علاوه بر این، خواستهاید تا اثر تعاملی دو متغیر مستقل را نیز مشخص سازد. پس از انتقال موارد مذکور به سمت راست، گزینه Compare main effects را انتخاب کرده و از منوی زیر آن، گزینه مربوط به آزمون بونفرونی را انتخاب کنید. با این دستور، شما از spss خواستهاید تا در صورتی که میانگین بین شدتها متفاوت بود با استفاده از آزمون تعقیبی بونفرونی (این آزمون مناسبتر و قویتر است)، دقیقاً مشخص سازد که این تفاوت میانگین بین کدام دو شدت است (یعنی مقایسه دو به دو). در گزینههای پائین نیز فعلاً دو مورد کلیک شده در شکل بالا را انتخاب کنید.
حال بر روی Continue کلیک کنید تا به کادر گفتگوی 2 بازگردید. در ادامه، بر روی دکمه Plots کلیک کنید تا کادر گفتگوی 4 باز شود.
کادر گفتگوی 4
در کادر فوق، با انتقال متغیر مستقل اسمی (در این مثال جنسیت) به کادر Separate Lines و انتقال متغیر مستقل فاصلهای (در این مثال شدت فعالیت) به کادر Horizontal Axis، بر روی کلید Add کلیک کرده و برای ادامه کار و بازگشت به کادر گفتگوی 2، بر روی کلید Continue کلیک کنید.
برای انجام محاسبات، بر روی Ok کلیک کنید تا نتایج آن را مشاهده کنید.
در زیر جداولی که مهم هستند را آورده و به تفصیل توضیح خواهم داد.
جدول 1
اعداد جدول 1 به ما میگوید که توزیع دادهها به چه صورت است. این جدول نتیجه آزمون آماری ماخلی برای آزمودن فرض کرویّت است که از پیش فرضهای آزمون آماری تحلیل واریانس با اندازهگیریهای مکرر است. در صورتی که سطح معنیداری آن بیشتر از 05/0 باشد، پیش فرض مربوطه برآورده شده و مشکلی نیست اما در غیر اینصورت (مانند مثال حاضر) باید تصحیحاتی صورت گیرد که از ضرایب تصحیح (اپسیلون) برای اصلاح درجه آزادی (df) استفاده کرد. این مسئله در جدول مربوط به F در زیر به روشنی خواهد شد.
جدول 2
جدول شماره 2، در واقع جدول نتایج F برای هر متغیر مستقل درون گروهی (نه برون گروهی) و اثرات تعاملی آن متغیر با متغیر مستقل دیگر (برون گروهی) است. اما همچنان که در بالا گفته شد، چون فرض کرویت برآورده نشده است بایستی از اپسیلون ها استفاده کرد که در معمولا از هینه-فلت استفاده میشود. با نگاه به ستون سطح معنیداری (Sig.) میتوانید معنیدار بودن اثر هر متغیر (البته فقط درون گروهی) و تعامل آنها را ببینید. در صورتی که مقدار مذکور کمتر از 05/0 باشد، اثر آن متغیر مستقل بر متغیر وابسته معنی دار خواهد بود. در غیر اینصورت اثر آن معنی دار نیست.
بر اساس اعداد جدول 2، اثر شدت فعالیت بر اکسیداسیون چربی معنیدار است یعنی، میانگین اکسیداسیون چربی بین 4 شدت فعالیت معنیدار است. اما برای اینکه بدانیم این تفاوت بین کدام دو شدت است به جدول 4 نگاه میکنیم که نتایج مربوط به آزمون تعقیبی بونفرونی را ارائه میدهد. توجه داشته باشید که در اینجا جنسیت مطرح نیست یعنی این نتایج مربوط به اثر خالص شدت فعالیت (بدون در نظر گرفتن مرد یا زن بود آزمودنی) بر اکسیداسیون چربی است. بعضاً به اشتباه بسیاری از دانشجویان به دنبال این هستند که بدانند این تفاوت در کدام گروه است. اما برای اینکه بدانیم متغیر مستقل دوم (جنسیت) نیز بر متغیر وابسته اثر معنیداری دارد یا خیر به جدول 3 نگاه میکنیم. در صورتی که سطح معنیداری (Sig.) در ردیف مربوطه (در این مثال، group) کمتر از 05/0 باشد، بدین معناست که اثر آن معنیدار است یعنی جنسیت نیز بر اکسیداسیون چربی اثر دارد یا به قولی دیگر، میزان اکسیداسیون چربی بین مرد و زن متفاوت است. (باز هم عنوان میکنم که در اینجا اثر خالص جنسیت صرفنظر از شدت فعالیت است). اما برای اینکه بدانیم این اثر در مردان بیشتر است یا زنان باید به جدول مربوط به آمار توصیفی (میانگین) نگاه کنیم.
جدول 3
در جدول 2 و 3، ستون آخر (Partial Eta Squared) عددی را نمایش میدهد که میزان تبیین تغییرات متغیر وابسته توسط آن متغیر مستقل است مثلا در این مثال، جنسیت، 32 درصد و شدت فعالیت، 7/37 درصد از تغییرات اکسیداسیون چربی را تبیین میکنند.
جدول 4
در جدول 4، میانگین متغیر وابسته (در اینجا اکسیداسیون چربی) بین سطوح متغیر مستقل (در اینجا شدت فعالیت) بطور دو به دو مقایسه شده است (صرفنظر از جنسیت). به عنوان مثال، سطح معنیداری برای تفاوت اکسیداسیون چربی بین شدت 3 (50 درصد) و شدت 1 (60 درصد) کمتر از 05/0 است (038/0=p) لذا معنیدار است.
این تغییرات را میتوان بر روی نموداری که خواسته بودیم مشاهده کنیم. در صورتی که در نمودار 1، خطوط نمودار یکدیگر را قطع کنند، بدین معنی است که اثر تعاملی وجود دارد. همچنین میتوان روند تغییرات متغیر وابسته را در سطوح مختلف متغیرهای مستقل مشاهده کرد.
نمودار 1
بر اساس نتایج در این مثال، زیرفرض های 1 و 2 که در ابتدای بحث عنوان شد رد میشوند اما فرض 3 تایید میشود.
[1] . Univariate
[2] . Multivariate
[3] . Contrast
[4] . A priori
[5] . Estimated Marginal Means
[6] . Cook’s Distance
[7] . Leverage Value
[8] . Mauchly’s Test Sphericity
[9] . Huynh-Feldt
